Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）在（1）的条件下，求证：；

（3）当时，求函数在上的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）最大值为.

【解析】分析：（1）求出导数，写出切线方程；

（2）利用导数求出的最小值，由最小值＞0得结论；

（3）求出导函数，其零点为，首先比较与的大小，得出的单调性，然后再比较大小得出最大值．

详解：（1）当时，，所以，

切线方程为.

（2）由（1）知，则，当时时，；

当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增，

当时，函数最小值是，因此.

（3），令，则，当时，设，

因为，所以在上单调递增，

且，所以在恒成立，即，

当，当；所以在上单调递减，

在上单调递增.所以在上的最大值等于，

因为，

设，所以.

由（2）在恒成立，所以在上单调递增.

又因为，所以在恒成立，即，

因此当时，在上的最大值为.