Question

在平面直角坐标系xOy中，点P是圆上一动点，x轴于点D.记满足的动点M的轨迹为Γ.
(1)求轨迹Γ的方程；
(2)已知直线与轨迹Γ交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，射线OG交轨迹Γ于点Q，且.
①证明：
②求△AOB的面积S(λ)的解析式，并计算S(λ)的最大值.

Answer 1

(1)；(2)

解析试题分析：(1)由已知M是PD的中点，利用P点在圆上，可以求出M的点轨迹方程为；(2)点Q在(1)中的椭圆上，G是OQ上的分点，利用直线与椭圆的关系，可以找到λ与m和k的关系，并进一步将三角形AOB的面积表示成λ的函数关系式，再求出它的最大值.
试题解析：(1)设，则点，且  (1)
∵
∴    (2)
将(2)代入(1)，得
∴轨迹Γ的方程为；        5分
(2)①令
由消去y
得        6分
∴，即  (3)
∴
又由中点坐标公式，得
根据，得
将其代入椭圆方程，有
化简得：  (4)        9分
②由(3)(4)得
∵  (5)
在△AOB中，  (6)
∴由(4)(5)(6)可得     12分
令
则(当且仅当t＝1时，即时取“＝”)
∴当时，取得最大值，其最大值为1.     13分
考点：动点轨迹，直线与椭圆的位置关系，中点坐标，平面向量的坐标运算，基本不等式，范围与最值.