Question

四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB垂直面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°

Answer 1

解析:

注意到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD的棱为PD，围绕PD而考虑问题解决途径．

　　证法一：利用定义法

　　经A在PDA平面内作AE⊥PD于E，连CE．

　　因底是正方形，故CD＝DA．

　　△CED≌△AED，AE＝EC，∠CED＝∠AED＝90°，

　　则CE⊥PD．

　　故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角．

　　设AC与BD交于O，连EO，则EO⊥AC．

　　因OA＝×＝a，AE＜AD＜a．

　　cos∠AEC＝＝＜0．

　　所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．

　　证法二：运用三垂线法

　　∵　PB⊥面ABCD，则PB⊥AD，又AD⊥AB，

　　∴　AD⊥面PAB，即面PAB⊥面PAD．

　　过B作BE⊥PA，则BE⊥面PAD．

　　在面PBC内作PGBC，连GD．

　　经C作CF⊥面PAD于F，

　　那么连结EF，有EFAD．

　　经F作FH⊥PD于H，连CH，

　　则∠FHC是所求二面角平面角的补角．

　　因CF⊥FH，故∠FHC是锐角．

　　则面PAD与面PCD所成二面角大于90°．

　　此结论证明过程中与棱锥高无关．

　　证法三：利用垂面法找平面角．

　　在证法一所给图形中

　　连AC、BD，因AC⊥BD，PB⊥面ABCD，

　　∴　AC⊥PD．

　　经A作AE⊥PD于E，那么有PD⊥面AEC，连CE，

　　即PD⊥CE．

　　故PD与平面AEC垂直后，面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成角∠CEA就是二面角的平面角．

　　以下同证法一．