Question

【题目】已知函数.

（I）讨论极值点的个数.

（II）若是的一个极值点，且，证明：.

Answer 1

【答案】（I）答案不唯一，具体见解析（II）见解析

【解析】

（I） 根据题目条件，求出函数的导数，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求得函数的极值的个数。

（II）根据是的一个极值点，得出，再根据，求出的范围，再利用（１）中的结论，得出的单调性，观察得出，对与的大小关系进行分类讨论，结合函数单调性，即可证明。

（I）∵，，．

∴或

1、当，即时，

若，则，单调递增；

若，则，单调递减；

若，则，单调递增；

此时，有两个极值点：，．

2、当，即时，，f（x）单调递增，

此时无极值点.

3、当，即时，

若，则，单调递增；

若，则，单调递减；

若，则，单调递增；

此时，有两个极值点：，．

故当时，无极值点：当时，有两个极值点.

（II）由（Ⅰ）知，，且，

∴，由（1）中3知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

又（这一步是此题的关键点，观察力）

1、当即时，在上单调递减，

此时，成立.

2、当即时，成立.

3、当即时，在上单调递增.

此时，成立.

综上所述，，当时，“=”成立.