Question

【题目】已知函数在区间上有最大值和最小值.

（1）求的值；

（2）设，

证明：对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；

（3）设，是否存在实数m和nm＜n，使的定义域和值域分别为，如果存在，求出m和n的值．若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由题意得到函数在区间上单调递增，结合题意可求得．（2）由得，构造函数，可证明函数单调递增，故得结论成立．（3）分析条件可得函数在上单调递增，于是可得到，于是得为方程的两个不等实根，解方程可得．

（1）由题意得，

∴函数图象的对称轴为，

∴函数在区间上单调递增，

由题得，

解得．

（2）证明：由（1）知，

∴，

令，

∴，

令．

设，则

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，即，

∴函数为上的增函数，

∴对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点．

（3）由题意知，对称轴为，

∴．

假设存在实数，使得当时，的值域为，则，

∴，

∴函数在上单调递增，

∴，

则为方程的两个不等实根，

由得，

解得，．经检验得满足条件．

故存在，使得的定义域和值域分别为．