Question

已知函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x），a是不为0的实常数．
（1）若当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），求函数y=f（x），x∈[0，1]的值域；
（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析式；
（3）若当0＜x≤1时，f（x）=3^x，试研究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数？
若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先用配方法求出对称轴，明确单调性，然后再求值域．
（2）在区间[n，n+1）上取变量，利用“f（x+1）=af（x）”逐步将变量转化到区间[0，1]上，用f（x）=x（1-x）求解．
（3）由（2）知：f_n（x）=aⁿ•3^x-n，易知f_n（x）=aⁿ•3^x-n，x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z当a＞0时是增函数，由“函数y=f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数”，有aⁿ⁺¹≥3aⁿ求解即可．

解答：解：（1）∵f(x)=-(x-

1

2

)2+

1

4

，x∈[0，1]，∴f(x)∈[0，

1

4

]．
（2）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）═aⁿf₁（x-n），
∴f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x）．
（3）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）═aⁿf₁（x-n），
∴f_n（x）=aⁿ•3^x-n；
显然f_n（x）=aⁿ•3^x-n，x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z当a＞0时是增函数，
此时∴f_n（x）∈[aⁿ，3aⁿ]，
若函数y=f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，则必有aⁿ⁺¹≥3aⁿ，解得：a≥3；
显然当a＜0时，函数y=f（x）在区间[0，+∞）上不是单调函数；
所以a≥3．

点评：本题主要考查求相应区间上的解析式问题，这类题，要通过条件或函数的性质，将相应区间上的变量转化到已知区间上去，利用已知区间上的解析式来求解．考查比较多的是用奇偶性和周期性来转化求解．