Question

已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．
（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；
（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据分层抽样的定义知：在自己班上的学生中抽取5人中有3男2女，“至少选取1个男生”的对立面是“全为女
生”则所求的概率为：1-“全为女生”的概率
（II）P（ξ=1）表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数为男生1人和女生1人
ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数可表示为：用ξ₁表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ₂表示2个女生考前心理状态好的人数，则ξ₁～B（3，0.6），ξ₂～B（2，0.5）根据Eξ=Eξ₁+Eξ_{2^即可运算}
解答：解：（I）男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人
选取的两名学生都是女生的概率P=
∴所求的概率为：1-P=
（II）P（ξ=1）=C₃1×0.6×0.4²×0.5²+C₂1×0.4³×0.5²=0.104
  用ξ₁表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ₂表示2个女生考前心理状态好的人数，
则ξ₁～B（3，0.6），ξ₂～B（2，0.5），
∴Eξ₁=3×0.6=1.8，Eξ₂=2×0.5=1，
∴Eξ=Eξ₁+Eξ₂=2.8
点评：本题考查了等可能事件的概率，离散型随机变量的期望，特别是二项分布的期望与方差也是高考中常考的内容之一．