Question

数列{a_n}中，a₁=1，a_n-1²=

(n-3) a 2 n +3an-1

n-1

（n≥2），当n≥2时，a_n＞a₁
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b_n=（

1

2

）^a_n-1，S_n为数列{b_n}的前n项和，试比较S_n与

2n+3

n+1

的大小．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；
（2）猜想通项，利用数学归纳法进行证明；
（3）利用等比数列的求和公式，求和即可得到结论．

解答：解：（1）∵a₁=1，a_n-1²=

(n-3) a 2 n +3an-1

n-1

，
∴a₂=1或2
∵当n≥2时，a_n＞a₁，∴a₂=2
同理，a₃=3，a₄=4；
（2）猜想a_n=n，下面用数学归纳法证明：
①n=1，2，3时，显然成立；
②假设n=k（k≥3）时，结论成立，即a_k=k，则
由a_k²=

(k-2) a 2 k-1 +3ak-1-1

k

=k²，解得a_k+1=k+1或-

k2-k+1

k-2

（舍去）
故对n=k+1时也成立
由①②可知a_n=n；
（3）b_n=（

1

2

）^a_n-1=（

1

2

）^n-1，
∴S_n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

＜2
∵

2n+3

n+1

=2+

1

n+1

＞2
∴S_n＜

2n+3

n+1

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．