Question

（2009•卢湾区一模）（理）袋中有大小相同的红球和白球若干个，其中红、白球个数的比为4：3．假设从袋中任取2个球，取到的都是红球的概率为

4

13

．
（1）试问：袋中的红、白球各有多少个？
（2）现从袋中逐次取球，每次从袋中任取1个球，若取到白球，则停止取球，若取到红球，则继续下一次取球．试求：取球不超过3次便停止的概率．

Answer 1

分析：（1）由于已知红、白球个数的比为4：3故可设袋中有红球4k个，白球3k个，再由题设中假设从袋中任取2个球，取到的都是红球的概率为

4

13

建立方程求出红、白球各有多少个．
（2）由题意，记A为“取球不超过3次便停止”；B_i（i=1，2，3）为“第i次取到红球”，则

.

Bi

为“第i次取到白球”，由相互独立事件的概率乘法公式求出概率即可

解答：解：（1）设袋中有红球4k个，白球3k个，由题设

C 2 4k

C 2 7k

=

4

13

，解得k=2，…（4分）
因此，袋中有红球8个，白球6个．                                   …（6分）
（2）记A为“取球不超过3次便停止”；B_i（i=1，2，3）为“第i次取到红球”，则

.

Bi

为“第i次取到白球”．
由题设A=

.

B1

+B1

.

B2

+B1B2

.

B3

，且

.

B1

、B1

.

B2

、B1B2

.

B3

为互不相容事件，B₁、

.

B1

、B₂、

.

B2

、

.

B3

为互相独立事件，…（10分）
故P(A)=P(

.

B1

)+P(B1)P(

.

B2

)+P(B1)P(B2)P(

.

B3

)=

6

14

+

8

14

×

6

13

+

8

14

×

7

13

×

6

12

=

11

13

．…（14分）

点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式与等可能事件的概率求法，第二小题中理解事件“取球不超过3次便停止”是解题的关键，第一题中由两种颜色的球的个数比设出它们的个数是关键，第二小题的求解是本题的难点，