Question

已知数列{a_n}，满足a₂=6，

an+1-an+1

an+1+an-1

=

1

n

（n∈N^*），
（1）已知b₁=1，b_n+1=

an+1

n(n+1)

（n∈N^*），求数列{b_n}所满足的通项公式；
（2）求数列{a_n} 的通项公式；
（3）己知

lim

n→∞

n

2n

=0，设c_n=

an

n•2n

，(n∈N*)，常数（c≠0，c∈R），若数列{c_n}是等差数列，记S_n=c₁c+c₂c²+c₃c³+…+c_ncⁿ，求

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

分析：（1）利用

an+1-an+1

an+1+an-1

=

1

n

，可得（n-1）a_n+1-（n+1）a_n=-（n+1），结合b_n+1=

an+1

n(n+1)

，即可求数列{b_n}所满足的通项公式；
（2）利用叠加法，即可求数列{a_n} 的通项公式；
（3）确定数列{c_n}的通项，再用错位相减法法求和，即可求极限．

解答：解：（1）∵

an+1-an+1

an+1+an-1

=

1

n

，
∴（n-1）a_n+1-（n+1）a_n=-（n+1）．
∴当n≥2（n∈N^*）时，有

an+1

(n+1)n

-

an

n(n-1)

=

1

n

-

1

n-1

．
又∵b_n+1=

an+1

n(n+1)

，a₂=6，
∴b_n+1-b_n=

1

n

-

1

n-1

，b₂=3．
∴数列{b_n}的递推公式是b₁=1，b₂=3，b_n+1-b_n=

1

n

-

1

n-1

（n≥2，n∈N^*），
（2）由（1）可知，b_n+1-b_n=

1

n

-

1

n-1

（n≥2，n∈N^*），
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+（b_n-2-b_n-3）+…+（b₂-b₁）+b₁=2+

1

n-1

，
∴a_n=n（n-1）b_n=n（2n-1）（n≥2，n∈N^*），
又a₂=6，可求得a₁=1．
当n=1时，符合公式．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n（2n-1）．
（3）由（2）知，c_n=

n(2n-1)

n+c

．
又{c_n}是等差数列，
因此，当且仅当c_n=

n(2n-1)

n+c

=2n-2c-1+

c(2c+1)

n+c

是关于n的一次函数或常值函数，即c=-

1

2

．
于是，c_n=2n，
∴S_n=c₁c+c₂c²+c₃c³+…+c_ncⁿ=2•（-

1

2

）+4•（-

1

2

）²+…+2n•（-

1

2

）ⁿ，
∴-

1

2

S_n=2•（-

1

2

）²+4•（-

1

2

）³+…+2n•（-

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴两式相减可得

3

2

S_n=2•（-

1

2

）+2•（-

1

2

）²+2•（-

1

2

）³+…+2•（-

1

2

）ⁿ-2n•（-

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴S_n=-

4

9

+

4

9

•（-

1

2

）ⁿ-

4n

3

•（-

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴

lim

n→∞

Sn=-

4

9

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查数列的极限，属于中档题．