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    设函数的定义域为，对任意的实数都有；当时，，且.（1）判断并证明在上的单调性；

    （2）若数列满足：，且，证明：对任意的，

     

    【答案】

    （1）单调递增（2），再利用.

    【解析】

    试题分析：（1）在上单调递增，证明如下： 设任意，且，∵，∴，∴

    即，∴在上单调递增.  

    （2）在中，令，得.令，

    得，∴.令，得，即

    下面用数学归纳法证明：   

    ①当时，，不等式成立；

    ②假设当时，不等式成立，即，则∵在上单调递增，

    ∴，∴，即当时不等式也成立.

    综上①②，由数学归纳法原理可知对任意的，

    考点：数学归纳法；抽象函数及其应用；数列与函数的综合

    点评：本题考查函数的单调性，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

     

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