Question

设a为实数，设函数的最大值为g(a)。

（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)

（Ⅱ）求g(a)

（Ⅲ）试求满足的所有实数a      

Answer 1

（Ⅰ）

要使有意义，必须且，即,

∴                   ①

的取值范围是由①得

∴

（Ⅱ）由题意知g(a)即为函数的最大值。

注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。

(1)当时，函数 ,的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，∴

(2)当时，, ,∴.

(3)当时,函数, 的图象是开口向下的抛物线的一段，

若，即则

若，即则

若，即则

       综上有 

（Ⅲ）解法一：

情形1：当时，此时，

由解得，与矛盾。

情形2：当时，此时，

解得，与矛盾。

情形3：当时，此时

所以

情形4：当时，，此时，

          ，解得与矛盾。

情形5：当时，，此时

由解得，与矛盾。

情形6：当时，，此时,

由解得，由得.

综上知，满足的所有实数为或