Question

已知函数f（x）=ax³+bx+c为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线9x+y-2=0平行，导函数f'（x）的最小值为-12．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据奇函数求出c的值，再根据导函数f'（x）的最小值求出b的值，最后依据在x=1处的导数等于切线的斜率求出c的值即可；
（Ⅱ）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求得区间即为单调区间，根据极值的求解方法，列表即可求得极值．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax³+bx+c为奇函数，∴c=0且f'（x）=3ax²+b
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线9x+y-2=0平行，
∴f′（1）=-9，即3a+b=-9 …①
又∵导函数f'（x）的最小值为-12∴a＞0且b=-12 …②
由①②解出  a=1，b=-12，∴f（x）=x³-12x                 …（6分）
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）
∴令f′（x）=0，得x=-2或x=2．列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴f（x）的极大值为f（-2）=16；
极小值为f（2）=-16…（12分）

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．