Question

甲、乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．
（1）用X表示甲班总得分，求随机变量X的概率分布和数学期望；
（2）记“两班得分之和是30分”为事件A，“甲班得分大于乙班得分”为事件B，求事件A，B同时发生的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定随机变量X的可能取值，求出相应的概率，即可求得随机变量X的概率分布列和数学期望；
（2）分别求得事件A，B的概率，利用互斥事件的概率公式，可得结论．
解答：解：（1）随机变量X的可能取值是0，10，20，30，且
P（X=0）=（1-）³=，P（X=10）=••（1-）²=，
P（X=20）=（）²（1-）=，P（X=30）=（）³=
所以，X的概率分布为

X		10	20	30
P

…3分
随机变量X的数学期望E（X）=0×+10×+20×+30×=20．…5分
（2）甲班得20分，且乙班得10分的概率是：
（）²（1-）×[×（1-）×（1-）+（1-）××（1-）+（1-）×（1-）×]=；
甲班得30分，且乙得班0分的概率是：
（）³×（1-）×（1-）×（1-）=．
所以事件A，B同时发生的概率为+=． …10分
点评：本题考查互斥事件概率公式的运用，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．