Question

（2009•虹口区二模）（1）证明命题：若直线l过抛物线y²=2px （p＞0）的焦点F（

p

2

，0），交抛物线于AB两点，O为坐标原点，那么

OA

•

OB

=-

3

4

p²；
（2）写出第（1）题中命题的逆命题．如其为真，则给出证明； 如其为假，则说明理由；
（3）把第（1）题中命题作推广，使其是你推广的特例，并对你的推广作出证明．

Answer 1

分析：（1）先讨论出当直线l垂直于x轴时，

OA

•

OB

的值；再设出直线方程，把直线与抛物线方程联立，得到A，B两点的坐标和斜率之间的关系，再代入

OA

•

OB

计算即可得到结论．
（2）先写出第（1）题中命题的逆命题．其为真，利用类似（1）的方法给出证明；
（3）先写出推广结论，再根据第一问求

OA

•

OB

的方法即可得到结论．（注意要分直线斜率存在和不存在两种情况讨论）．

解答：解：（1）若直线l垂直于x轴，则 A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p).

OA

•

OB

=(

p

2

)2-p2=-

3

4

p2．…（2分）
若直线l不垂直于轴，设其方程为 y=k(x-

p

2

)，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

⇒k2x2-p(2+k2)x+

p2

4

k2=0x1+x2=

(2+k2)

k2

p，x1•x2=

p2

4

．…（4分）
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1-

p

2

)(x2-

p

2

)=(1+k2)x1x2-

p

2

k2(x1+x2)+

p2k2

4

=(1+k2)

p2

4

-

p

2

k2•

(2+k2)p

k2

+

p2k2

4

=-

3

4

p2．
综上，

OA

•

OB

=-

3

4

p2为定值．…（6分）
（2）写出第（1）题中命题的逆命题：
若直线l交抛物线于AB两点，O为坐标原点，

OA

•

OB

=-

3

4

p²，那么直线l过抛物线y²=2px （p＞0）的焦点F（

p

2

，0）．其为真，
证明如下：若直线l垂直于x轴，

OA

•

OB

=-

3

4

p2．则A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p)
AB过抛物线y²=2px （p＞0）的焦点F（

p

2

，0）．…（4分）
若直线l不垂直于轴，设其方程为 y=k（x-m），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由

y=k(x-m) y2=2px

及

OA

•

OB

=-

3

4

p2得出m=

1

2

p．
从而AB过抛物线y²=2px （p＞0）的焦点F（

p

2

，0）．…（8分）
（3）关于椭圆有类似推广的结论：
过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，存在定点P，使

OA

•

OB

为定值．
证明：不妨设直线l过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦点F（c，0）（其中 c=

a2-b2

）
若直线l不垂直于轴，则设其方程为：y=k（x-c），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由

y=k(x-c) x2 a2 + y2 b2 =1

⇒(a2k2+b2)x2-2a2ck2x+(a2c2k2-a2b2)=0得：
所以 x1+x2=

2a2ck2

a2k2+b2

，x1•x2=

a2c2k2-a2b2

a2k2-b2

．…（9分）
由对称性可知，设点P在x轴上，其坐标为（m，0）．
所以

PA

•

PB

=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂
=（1+k²）x₁x₂-（m+ck²）（x₁+x₂）+m²+c²k²
=（1+k²）

a2c2k2-a2b2

a2k2-b2

-（m+ck²）

2a2ck2

a2k2+b2

+m²+c²k²
=

(a4-a2b2-b4+a2m2-2a2cm)k2+(m2-a2)b2

a2k2+b2

要使

PA

•

PB

为定值，
只要a⁴-a²b²-b⁴+a²m²-2a²cm=a²（m²-a²），
即 m=

2a4-a2b2-b4

2a2c

=

(2a2+b2)c

2a2

=

(3-e2)c

2

此时

PA

•

PB

=m²-a²=

(2a2+b2)2c2-4a6

4a4

=

b4(c2-4a2)

4a4

…（12分）
若直线l垂直于x轴，则其方程为x=c，A(c，

b2

a

)，B(c，-

b2

a

)．
取点 P(

(2a2+b2)c

2a2

，0)
有

PA

•

PB

=[

(2a2+b2)c

2a2

-c]2-

b4

a2

=

b4(c2-4a2)

4a4

．…（13分）
综上，过焦点F（c，0）的任意直线l交椭圆于A、B两点，存在定点 P(

(2a2+b2)c

2a2

，0)
使

PA

•

PB

=

b4(c2-4a2)

4a4

．为定值．…（14分）

点评：本题主要考查抛物线的基本性质以及直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于中档题．