Question

（2013•日照二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点D（1，

2

2

），焦点为F₁，F₂，满足

DF1

.

DF2

=

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（其中O为坐标原点），求整数t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把点的坐标代入椭圆方程得到一个关于a，b的方程，由

DF1

.

DF2

=

1

2

代入坐标后求出c的值，结合a²-b²=c²得到关于a，b的另一方程联立后可求解a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入

OA

+

OB

=t

OP

后得到P点的坐标，把P点坐标代入椭圆方程后得到t与k的关系，由k的范围确定t的范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知过点D(1，

2

2

)，得

1

a2

+

1

2b2

=1，①
记c=

a2-b2

，不妨设F₁（-c，0），F₂（c，0），则

DF

1=（-c-1，-

2

2

），

DF2

=（c-1，-

2

2

），
由

DF

1•

DF2

=

1

2

=(-c-1)(c-1)+(-

2

2

)2，得c²=1，即a²-b²=1．②
由①、②，得a²=2，b²=1．
故椭的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由题意知，直线AB的斜率存在．
设AB方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）．
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
△=64k²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，k2＜

1

2

．
x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，
∵

OA

+

OB

=t

OP

，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）．
x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

y1+y2

t

=

1

t

[k(x1+x2)-4k]=

-4k

t(1+2k2)

∵点P在椭圆上，∴

(8k2)2

t2(1+2k2)2

+2

(-4k)2

t2(1+2k2)2

=2．
∴16k²=t²（1+2k²），t2=

16k2

1+2k2

=

16

1 k2 +2

＜

16

2+2

=4，
∴-2＜t＜2．
∴t的最大整数值为1．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的坐标运算，训练了利用代入法求解变量的取值范围．属中档题．