Question

【题目】已知函数.

（1）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) m的取值范围是;(2)实数a的取值范围是.

【解析】试题分析：（1）即求函数在区间上值域，先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号变化规律，确定单调性，进而根据单调性求值域，（2）先参变分离，转化为求对应函数最值：的最小值，利用二次求导可得函数单调性，再根据单调性确定其最小值取法，最后根据最小值得实数的取值范围.

试题解析：（1）方程即为.

令，则.

令，则（舍），.

当x∈[1， 3]时，随x变化情况如表:

x	1				3
		＋	0	－
			极大值

∴当x∈[1，3]时，.

∴m的取值范围是.

（2）据题意，得对恒成立.

令，

则.

令，则当x＞0时，，

∴函数在上递增.

∵，

∴存在唯一的零点c∈（0，1），且当x∈（0，c）时，；当时，

.

∴当x∈（0，c）时，；当时，.

∴在（0，c）上递减，在上递增，从而.

由得，即，两边取对数得，

∴.

∴，即所求实数a的取值范围是.