Question

已知椭圆E的右焦点F₂与抛物线y2=4

3

x的焦点重合，对称轴为坐标轴，且经过点A(1，

3

2

)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点D(0，

5

3

)且斜率存在的直线l交椭圆E于M、N两点，线段MN的中点为Q，点B（-1，0），当l⊥QB时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆方程，利用椭圆E的右焦点F₂与抛物线y2=4

3

x的焦点重合，经过点A(1，

3

2

)，建立方程，求得几何量，即可求出椭圆E的方程；
（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及l⊥QB，即可求直线l的方程．

解答：解：（1）设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵抛物线y2=4

3

x的焦点为(

3

，0)，∴F₂(

3

，0)，∴a²-b²=3①--------（3分）
又过点A(1，

3

2

)，∴

1

a2

+

3

4b2

=1②
由①，②得：a²=4，b²=1
∴椭圆E的方程为

x2

4

+y2=1-----（5分）
（2）设直线l的方程为：y=kx+

5

3

(k≠0)
由

y=kx+ 5 3 x2+4y2=4

得（9+36k²）x²+120kx+64=0
由△=14400k²-256（9+36k²）＞0得：k2＞

4

9

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）则

x0= x1+x2 2 = -60k 9+36k2 y0=kx0+ 5 3 = 15 9+36k2

----（9分）
∵l⊥QB，∴

k

QB

=

15 9+36k2

-60k 9+36k2 +1

=-

1

k

，化简得：4k²-5k+1=0
解得：k=1或k=

1

4

（舍去）
∴直线l的方程为y=x+

5

3

-----（12分）

点评：本题考查抛物线的性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，正确运用韦达定理是关键．