Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知c=2，sinC=

3

2

，
（1）若sin²B-sinAsinB-2sin²A=0，求a、b的值；
（2）若角C为锐角，设B=x，△ABC的周长为y，试求函数y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据sinC求得C的值，进而利用余弦定理求得a和b的值．
（2）根据C是锐角确定C的值，进而根据正弦定理表示出a和b，进而表示出y，利用两角和公式化简整理，利用正弦函数的性质求得f（x）的最大值．

解答：解：（1）∵sinC=

3

2

，C∈（0°，180°），∴C=

π

3

或C=

2π

3

，
∵c=2，
∴由余弦定理得：a²+b²-ab=4①或a²+b²+ab=4②，
∵sin²B-sinAsinB-2sin²A=0，
∴由正弦定理得：b²-ab-2a²=0，∴b=-a（舍去）或b=2a③
由①③解得a=

2 3

3

，b=

4 3

3

，
由②③解得a=

2 7

7

，b=

4 7

7

．
（2）∵C为锐角，∴C=

π

3

，∴A+B=

2π

3

，即A=

2π

3

-x，
∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

4 3

3

，
∴a=

4 3

3

sin(

2π

3

-x)，b=

4 3

3

sinx，
∴y=a+b+c=2+

4 3

3

[sinx+sin(

2π

3

-x)]=2+

4 3

3

(

3

2

sinx+

3

2

cosx)=2+4sin(x+

π

6

)，
∵0＜x＜

2π

3

，
∴当x=

π

3

时，y_max=6．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理及其变形公式是解三角形问题中常用的公式，故应熟练记忆．