Question

如图，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，准线与圆相切．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）已知直线和抛物线交于点，命题P：“若直线过定点，则”，请判断命题P的真假，并证明。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）  （Ⅱ）命题P为真命题

【解析】

试题分析：（Ⅰ）依题意，可设抛物线的方程为，

其准线的方程为.           

∵准线与圆相切，

∴所以圆心到直线的距离，解得.

故抛物线的方程为:． 

（Ⅱ）命题P为真命题

因为直线和抛物线交于点且过定点，所以直线的斜率一定存在

设直线，交点联立抛物线的方程，

得 恒成立           

由韦达定理得        

，所以命题P为真命题 

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；抛物线的标准方程．

点评：本题考查了抛物线方程的求法，以及直线与抛物线的位置关系判断，做题时要认真分析，避免不必要的错误．