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    已知直线l与椭圆C：
    x2
    3
    +
    y2
    2
    =1    交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=
    		6
    2
    ，其中O为坐标原点．
    （Ⅰ）证明x12+x22和y12+y22均为定值；
    （Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值；
    （Ⅲ）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
    		6
    2
    ？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．
    （Ⅰ）1°当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
    所以x1=x2，y1=-y2，
    ∵P（x1，y1）在椭圆上，
    ∴
    x12
    3
    +
    y12
    2
    =1    ①
    又∵S△OPQ=
    		6
    2
    ，
    ∴|x1||y1|=
    		6
    2
     ②
    由①②得|x1|=
    		6
    2
    ，|y1|=1．此时x12+x22=3，y12+y22=2；
    2°当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为y=kx+m（m≠0），将其代入
    x2
    3
    +
    y2
    2
    =1    得
    （3k2+2）x2+6kmx+3（m2-2）=0，△=36k2m2-12（3k2+2）（m2-2）＞0
    即3k2+2＞m2，
    又x1+x2=-
    6km
    3k2+2
    ，x1•x2=
    3(m2-2)
    3k2+2
    ，
    ∴|PQ|=
    		1+k2
    		(x1+x2)2-4x1x2
    =
    		1+k2
    2
    		6
    		3k2+2-m2
    3k2+2
    ，
    ∵点O到直线l的距离为d=
    |m|
    		1+k2
    ，
    ∴S△OPQ=
    1
    2
    		1+k2
    2
    		6
    		3k2+2-m2
    3k2+2
    •
    |m|
    		1+k2
    =
    		6
    		3k2+2-m2
    |m|
    3k2+2
    ，
    又S△OPQ=
    		6
    2
    ，
    整理得3k2+2=2m2，此时x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-
    6km
    3k2+2
    ）2-2
    3(m2-2)
    3k2+2
    =3，
    y12+y22=
    2
    3
    （3-x12）+
    2
    3
    （3-x22）=4-
    2
    3
    （x12+x22）=2；
    综上所述x12+x22=3，y12+y22=2．结论成立．

    （Ⅱ）1°当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）知
    |OM|=|x1|=
    		6
    2
    ，|PQ|=2|y1|=2，
    因此|OM|•|PQ|=
    		6
    ．
    2°当直线l的斜率存在时，由（Ⅰ）知
    x1+x2
    2
    =-
    3k
    2m
    ，
    y1+y2
    2
    =k
    x1+x2
    2
    +m=
    -3k2+2m2
    2m
    =
    1
    m

    |OM|2=（
    x1+x2
    2
    ）2+（
    y1+y2
    2
    ）2=
    9k2
    4m2
    +
    1
    m2
    =
    6m2-2
    4m2
    =
    1
    2
    (3-
    1
    m2
    )    ，
    |PQ|2=（1+k2）
    24(3k2+2-m2)
    (2+3k2)2
    =
    2(2m2-1)
    m2
    =2（2+
    1
    m2
    ），
    所以|OM|2|PQ|2=
    1
    2
    (3-
    1
    m2
    )    ×2×(2+
    1
    m2
    )    =（3-
    1
    m2
    ）（2+
    1
    m2
    ）

    ≤(
    3-
    1
    m2
    +2+
    1
    m2
    2
    )    2    =
    25
    4
    ．
    |OM|•|PQ|≤
    5
    2
    ．当且仅当3-
    1
    m2
    =2+
    1
    m2
    ，
    即m=±
    		2
    时，等号成立．
    综合1°2°得|OM|•|PQ|的最大值为
    5
    2
    ；

    （Ⅲ）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
    		6
    2
    ，
    证明：假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
    		6
    2

    由（Ⅰ）得
    u2+x12=3，u2+x22=3，x12+x22=3；v2+y12=2，v2+y22=2，y12+y22=2
    解得u2=x12=x22=
    3
    2
    ；v2=y12=y22=1．
    因此u，x1，x2只能从±
    		6
    2
    中选取，
    v，y1，y2只能从±1中选取，
    因此点D，E，G，只能在（±
    		6
    2
    ，±1）这四点中选取三个不同点，
    而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S△ODE=S△ODG=S△OEG=
    		6
    2
    矛盾．
    所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G．
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，A、B分别是椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的上、下两顶点，P是双曲线
    y2
    a2
    -
    x2
    b2
    =1    上在第一象限内的一点，直线PA、PB分别交椭圆于C、D点，如果D恰是PB的中点．
    （1）求证：无论常数a、b如何，直线CD的斜率恒为定值；
    （2）求双曲线的离心率，使CD通过椭圆的上焦点．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知直线x-y+1=0经过椭圆S：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的一个焦点和一个顶点．
    （1）求椭圆S的方程；
    （2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．
    ①若直线PA平分线段MN，求k的值；
    ②对任意k＞0，求证：PA⊥PB．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知抛物线C：x2=2py（p＞0）与圆O：x2+y2=8相交于A、B两点，且
    OA
    •
    OB
    =0    （O为坐标原点），直线l与圆O相切，切点在劣弧AB（含A、B两点）上，且与抛物线C相交于M、N两点，d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和．
    （Ⅰ）求p的值；
    （Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值时直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知圆C过定点F（-
    1
    4
    ，0），且与直线x=
    1
    4
    相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．
    （I）求曲线E的方程；
    （II）当△OAB的面积等于
    		10
    时，求k的值；

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知抛物线x2=4
    		3
    y    的准线过双曲线
    x2
    m2
    -y2=-1    的一个焦点，则双曲线的离心率为（　　）
    A．
    3
    		2
    4
    		B．
    		6
    2
    		C．
    		3
    		D．
    		3
    3

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=
    3
    2
    ，点A，B关于y轴对称．一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
    （1）求曲线E的方程；
    （2）已知点S(0，-
    		3
    )，T(0，
    		3
    )    ，求∠SPT的最小值；
    （3）若点F(1，
    3
    2
    )    是曲线E上的一点，设M，N是曲线E上不同的两点，直线FM和FN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）以F1、F2为左、右焦点，离心率e=
    1
    2
    ，一个短轴的端点（0，
    		3
    ）；抛物线C2：y2=4mx（m＞0），焦点为F2，椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P．
    （1）求椭圆C1与抛物线C2的方程；
    （2）直线l经过椭圆C1的右焦点F2与抛物线C2交于A1，A2两点，如果弦长|A1A2|等于△PF1F2的周长，求直线l的斜率．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    		2
    2
    ，左焦点为F，过原点的直线l交椭圆于M，N两点，△FMN面积的最大值为1．
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）设P，A，B是椭圆E上异于顶点的三点，Q（m，n）是单位圆x2+y2=1上任一点，使
    OP
    =m
    OA
    +n
    OB
    ．
    ①求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
    ②求OA2+OB2的值．

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