Question

（2010•杭州模拟）设F₁、F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点，A为上顶点，椭圆上的点N满足：

F1N

=

F1F2

+λ

F1A

（λ∈R）．
（1）求实数λ的取值范围；
（2）设λ=

1

2

，过点N作椭圆的切线分别交左、右准线于P、Q，直线NF₁、NF₂分别交椭圆于C、D两点．是否存在实数m，使

OQ

=m（

ON

+

OD

）？若存在，求出实数m的值，否则说明理由；
（3）在（2）的基础上猜想：是否存在实数n，使

OP

=n（

ON

+

OC

）？若存在写出n的值．

Answer 1

分析：（1）设N（x，y），由点N满足：

F1N

=

F1F2

+λ

F1A

（λ∈R），将相关点的坐标代入，由向量相等的充要条件，可将N点坐标用λ表示，代入椭圆方程，得λ与a、b、c的等式，利用离心率的范围即可求得λ的范围
（2）由（1）知N（

3

2

c，

1

2

b），再由直线NF₂与椭圆联立求得D（0，-b），而点Q的横坐标也已知为

a2

c

，将这些点的坐标代入已知

OQ

=m（

ON

+

OD

），即可得m=

2a2

3c2

=

2

3e2

，Q（

a2

c

，-

a2b

3c2

），从而求得切线NQ的斜率，等于利用导数的几何意义求得的椭圆在点N处的切线斜率，求得椭圆离心率，进而求出m的值
（3）根据（2）的思路，只需求出直线NF₁与椭圆的交点C的横坐标，代入

OP

=n（

ON

+

OC

），得m与离心率的关系，代入求得的离心率即可猜想n值

解答：解：（1）设N（x，y）
∵F₁（-c，0）F₂（c，0），A（0，b），
∴

F1A

=（c，b），

F1F2

=（（2c，0），

F1N

=（x+c，y）
∵

F1N

=

F1F2

+λ

F1A

（λ∈R），
∴（x+c，y）=（2c，0）+λ（c，b），
∴

x+c=2c+λc y=λb

∴

x=λc+c y=λb

，
∵N点在椭圆上，代入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1
得

(λ+1)2×c2

a2

+

λb2

b2

=1
∴(λ+1)2•(

c

a

)2=1-λ2，显然λ=-1满足等式
若λ≠-1，则(

c

a

)2=

1-λ2

(1+λ)2

∵椭圆的离心率e=

c

a

∈（0，1）
∴0＜

1-λ2

(1+λ)2

＜1
解得0＜λ＜1
∴实数λ的取值范围为（0，1）∪{-1}
（2）∵λ=

1

2

∴N（

3

2

c，

1

2

b）
∵直线NF₂的方程为y=

b 2

3c 2 -c

（x-c）
即y=

b

c

（x-c），∵此直线过点（0，-b）
∴D（0，-b）
假设存在实数m，使

OQ

=m（

ON

+

OD

）
∵Q在右准线x=

a2

c

上，∴Q的横坐标为

a2

c

，设纵坐标为y_Q
则（

a2

c

，y_Q）=m[（

3

2

c，

1

2

b）+（0，-b）]
∴

a2

c

=

3

2

c×m，∴m=

2a2

3c2

=

2

3e2

*
∴y_Q=-

bm

2

=-

a2b

3c2

Q（

a2

c

，-

a2b

3c2

）
∵直线NQ的斜率为

- a2b 3c2 - b 2

a2 c - 3 2 c

=

-2a2b-3bc2 6c2

2a2-3c2 2c

=

-b(2a2+3c2)

3c(2a2-3c2)

  ①

由

x2

a2

+

y2

b2

=1，得椭圆在第一象限的图象的函数解析式为y=

b

a

a2-x2

y′=

b

a

×

1

2

×

1

a2-x2

 ×(-2x)=-

b

a

x

a2-x2

∴y′|x=

3c

2

=-

b

a

3c 2

a2- 9 4 c2

=

-3bc

a 4a2-9c2

即椭圆切线NQ的斜率为

-3bc

a 4a2-9c2

     ②
由①②得

-b(2a2+3c2)

3c(2a2-3c2)

=

-3bc

a 4a2-9c2

化简得9c2(2a2-3c2)=a

4a2-9c2

(2a2+3c2)
两边同除以a⁴，得9e2(2-3e2)=

4-9e2

(2+3e2)
解得e²=

1

3

代入*式，得m=

2

3e2

=2
故存在实数m=2，使

OQ

=m（

ON

+

OD

）
（3）∵N（

3

2

c，

1

2

b）
∵直线NF₁的方程为y=

b 2

3c 2 +c

（x+c）
即y=

b

5c

（x+c），代入椭圆方程得（1+

a2

25c2

）x2+

2a2

25c

x-

24

25

a2=0
∴x_C×

3

2

c=

- 24 25 a2

1+ a2 25c2

∴x_C=

-16a2c

25c2+a2

，

假设存在实数n，使

OP

=n（

ON

+

OC

）
∵P在左准线x=-

a2

c

上，∴Q的横坐标为-

a2

c

，设纵坐标为y_P
则（-

a2

c

，y_P）=m[（

3

2

c，

1

2

b）+（

-16a2c

25c2+a2

，y_C）]
∴-

a2

c

=（

3

2

c+

-16a2c

25c2+a2

）×m，
∴m=

50a2c2+2a4

29a2c2-75c4

=

50e2+2

29e2-75e4

由（2）知e²=

1

3

代入上式得：m=14
故猜想存在n=14，使

OP

=n（

ON

+

OC

）

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，向量与解析几何的综合运用