Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=2BC，∠ACB=90°．

（Ⅰ）求证：AC1⊥A1B；

（Ⅱ）求直线AB与平面A1BC所成角的正切值．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】分析：（1）先证平面，得到，由四边形为正方形得出，所以平面，进而证得；

（2）由平面可得是直线与平面所成的角，设，利用勾股定理求出，即可得出的值.

详解：证明（Ⅰ）∵CC1⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴CC1⊥BC

又∠ACB=90°，即BC⊥AC，又AC∩CC1=C，

∴BC⊥平面A1C1CA，又AC1平面A1C1CA，

∴AC1⊥BC．

∵AA1=AC，∴四边形A1C1CA为正方形，

∴AC1⊥A1C，又AC1∩BC=C，

∴AC1⊥平面A1BC，又A1B平面A1BC，

∴AC1⊥A1B．

（Ⅱ）设AC1∩A1C=O，连接BO．

由（Ⅰ）得AC1⊥平面A1BC，

∴∠ABO是直线AB与平面A1BC所成的角．

设BC=a，则AA1=AC=2a，

∴ ， ，

在Rt△ABO中， ，

∴直线AB与平面A1BC所成角的正切值为 ．