Question

过抛物线C：上的点M分别向C的准线和x轴作垂线，两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形，点M在第一象限.
（1）求抛物线C的方程及点M的坐标；
（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线C交于A，B两点，且直线AB过点（0，-1），求的面积.

Answer 1

（1）y²＝8x，(2，4)；（2）.

解析试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由题意结合抛物线图象得到M点坐标，代入抛物线方程中，解出P的值，从而得到抛物线的标准方程及M点坐标；第二问，设出A，B点坐标，利用M点，分别得到直线MA和直线MB的斜率，因为两直线倾斜角互补，所以两直线的斜率相加为0，整理得到y₁＋y₂＝－8，代入到中得到直线AB的斜率，于是得到直线AB的方程，令直线与抛物线联立，得到，而，，而用两点间距离公式转化，d是M到直线AB的距离，从而得到的面积.
（1）抛物线C的准线x＝－，依题意M(4－，4)，
则4²＝2p(4－)，解得p＝4．
故抛物线C的方程为y²＝8x，点M的坐标为(2，4)，    3分
（2）设．
直线MA的斜率，同理直线MB的斜率．
由题设有，整理得y₁＋y₂＝－8．
直线AB的斜率．      6分
于是直线AB的方程为y＝－x－1．
由得y²＋8y＋8＝0．
|y₁－y₂|＝＝，
于是|AB|＝|y₁－y₂|＝8．         10分
点M到直线AB的距离，
则△MAB的面积S＝|AB|·d＝．      12分
考点：抛物线的标准方程及其几何性质、韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式.