Question

（本小题满分12分）
对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把()叫闭函数．
（1）求闭函数符合条件②的区间[]；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）若函数是闭函数，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）[-1，1]。（2）函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。（3）。

试题分析：（1）根据y=-x³的单调性，假设区间为[a，b]满足，求a、b的值．
（2）取一特殊值x₁=1，x₂=10，代入验证不满足条件即可证明不是闭函数．
（3）根据闭函数的定义，得到a,b,k的关系式，然后转换为方程有两个不等的实数根来得到参数的范围。
解：
（1）由题意，在[]上递减，则解得
所以，所求的区间为[-1，1]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）
取则，
即不是上的减函数。
取，
即不是上的增函数，
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。．．．．．．．．．．．．．4分
（3）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域为[]，即，为方程的两个实根，
即方程有两个不等的实根。
当时，有，解得。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
当时，有，无解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
综上所述，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
点评：解决该试题的关键是理解闭函数的概念，并能结合所学知识，转换为不等式以及对应的函数关系式。