Question

如图，锐角△ABC的内心为D，过点A作直线BD的垂线，垂足为F，点E为内切圆D与边AC的切点．若∠C=50°，求∠DEF的度数．

Answer 1

分析：根据切线的性质，结合题意证出∠AED=∠AFD=90°，因此A、D、F、E四点共圆，得到∠DEF=∠DAF．由点D是△ABC的内心，可得∠DAB=

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∠BAC且∠DBA=

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∠ABC，结合三角形内角和定理证出∠DAB+∠DBA=

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（180°-∠C）=65°，进而得到∠ADF=65°．最后在Rt△ADF中算出∠DAF=90°-∠ADF=25°，可得∠DEF=25°．

解答：解：∵⊙D切AC于点E，∴DE⊥AC，得∠AED=90°，
又∵AF⊥DF，可得∠AFD=90°，
∴∠AED=∠AFD=90°，
因此，A、D、F、E四点共圆，在此圆中∠DEF与∠DAF对同弧，
∴∠DEF=∠DAF．
∵锐角△ABC的内心为D，
∴AD、BD分别是∠BAC、∠ABC的平分线，可得∠DAB=

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∠BAC，∠DBA=

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∠ABC，
因此，∠DAB+∠DBA=

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（∠BAC+∠ABC）=

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（180°-∠C）=

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（180°-50°）=65°．
∵∠ADF为△ABD的外角，∴∠ADF=∠DAB+∠DBA=65°，
Rt△ADF中，∠DAF=90°-∠ADF=25°，可得∠DEF=∠DAF=25°．

点评：本题给出△ABC的内切圆，求∠DEF的度数．着重考查了三角形内角和定理、切线的性质定理、四点共圆的判定和三角形的内切圆的性质等知识，属于中档题．