Question

已知以原点O为中心的椭圆，它的短轴长为，右焦点（c>0），它的长轴长为2a（a>c>0），直线与x轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P．Q两点．

（Ⅰ） 求椭圆的方程和离心率；

（Ⅱ） 若，求直线PQ的方程；

（Ⅲ）设，过点P且平行于直线的直线与椭圆相交于另一点M，证明：．

Answer 1

（Ⅰ）解：由题意，可知椭圆的方程为．           

由已知得                            

解得，c=2，                                     

所以椭圆的方程为，离心率．                      

（Ⅱ）解：由（1）可得A（3，0）．设直线PQ的方程为y=k（x－3）．

联立方程组，得（3k2+1）x2－18k2x+27k2－6=0，           

依题意△=12（2－3k2）>0，得．                         

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

，  ①      ．  ②               

由直线PQ的方程得为y1=k（x1－3），y2=k（x2－3），于是，

y1y2=k2（x1－3） （x2－3）= k2[x1x2－3（x1+ x2）+9]．        ③

∵，∴x1x2+y1y2=0．    ④                             

由①②③④得5k2=1，从而．

所以直线PQ的方程为或．           

（理科做）

（Ⅲ）证明：∵P（x1，y1），Q（x2，y2）， A（3，0），

∴，．由已知得方程组

，注意λ>1，解得，                 

因为F（2，0）， M（x1，－y1），故

．

                                                               

而，所以．