Question

（2013•闸北区一模）设点F₁（-c，0），F₂（c，0）分别是椭圆C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且

PF1

•

PF2

最小值为0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设定点D（m，0），已知过点F₂且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，满足|AD|=|BD|，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出点P的坐标，利用数量积得到

PF1

•

PF2

表达式，根据其取得最小值的条件即可得出c，进而得出椭圆的方程；
（2）利用点斜式得到直线l的方程，与椭圆方程联立，再利用根与系数的关系及垂直平分线的性质即可求出m的范围．

解答：解：（1）设P（x，y），则

F1P

=(x+c，y)，

F2P

=(x-c，y)，
∴

PF1

•

PF2

=x2+y2-c2=

a2-1

a2

x2+1-c2，x∈[-a，a]，
由题意得，1-c²=0⇒c=1⇒a²=2，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．                                 
（2）由（1）得F（1，0），设l的方程为y=k（x-1），
代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，∴y1+y2=k(x1+x2-2)=

-2k

2k2+1

，
设AB的中点为M，则M(

2k2

2k2+1

，-

k

2k2+1

)，
∵|AD|=|BD|，∴DM⊥AB，即k_DM•k_AB=-1，∴

4k2

2k2+1

-2m+

-2k

2k2+1

k=0?(1-2m)k2=m
∵直线l与坐标轴不垂直，∴k2=

m

1-2m

．
∴

m

1-2m

＞0?0＜m＜

1

2

．

点评：熟练掌握椭圆的定义与性质、向量的数量积、线段的垂直平分线的性质、直线与圆锥曲线相交问题的解题模式、一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．