Question

【题目】已知函数 .
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数 有两个零点 ,证明 .

Answer 1

【答案】
（1）解： , 当 时, ;当 时, ,所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）解： ,不妨设 ，又由（1）可知 ，又函数 在 上单调递减，所以 等价于 ，即 .又 ，而 ，所以 ,设 ，则 ，当 时， ，而 ，故当 时， .所以而 恒成立，所以当 时, ,故 .

【解析】(1)根据题意首先求出原函数的导函数，借助导函数的性质求出原函数的极值点，并判断导函数的正负进而得到原函数的单调性。(2)由已知利用函数 f ( x ) 在 ( ∞ , 1 ) 上单调递减得出x 1 > 2 x 2 ,可转化为 0 = f ( x 1 ) < f ( 2 x 2 ）求出 f ( 2 x 2 ）的解析式，构造函数g ( x )再利用形式函数的导数，讨论导函数的正负进而得出g ( x )的最值，然后转化该式求解即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．