Question

20.已知函数f(x)＝.

（1）证明f(x)是奇函数；并求f(x)的单调区间.

（2）分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)·g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.

Answer 1

20.

解：(1)∵函数f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，+∞)关于原点对称，

又f(－x)＝＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数.                                                                          

设x₁＜x₂，x₁、x₂∈(0，+∞).

 

f(x₁)－f(x₂)＝，

∵＜0，1+＞0，

∴f(x₁)－f(x₂)＜0，

f(x)在(0，+∞)上单调递增.

又∵f(x)是奇函数，

∴f(x)在(－∞，0)上也单调递增.                                                 

 

(2)算得f(4)－5f(2)g(2)＝0，

 f(9)－5f(3)g(3)＝0，

由此概括出对所有不等于零的实数x有：

f(x²)－5f(x)g(x)＝0.                                                                        

f(x²)－5f(x)g(x)

＝－5··

＝0.