Question

已知集合A={(x,y)|x,y,2n-x-y}是三角形的三边之长,n∈N^*}设a_n表示集合A中整点（横、纵坐标均为整数）的个数.

(1)写出a_n的通项公式；

(2)求使得a_n＞2 006成立的n的最小值；

(3)设列数{b_n}满足:b_n=n²-2a_n,n∈N^*,其前n项和为S_n.若对任意正整数n，不等式≤m恒成立，求m的取值范围.

Answer 1

解:（1）即集合A所表示的区域为下图.

?

∴a_n=0+1+2+…+n-2=.                                                                        ?

（2）∵a_n＞2 006,∴(n-2)(n-1)＞2 006×2,?

即n(n-3)＞2 005×2.?

令T=x(x-3),当x＞3时，该函数是增函数.经检验x=65时，T=4 030＞4 010,?

x=64时，T=3 904＜4 010.?

∴n≥65.∴n的最小值为65.                                                                               ?

（3）b_n=n²-2a_n=3n-2,?

b_n+1-b_n=3.∴数列{b_n}是以1为首项，公差为3的等差数列.?

∴S_n=n=.                                                                                   ?

==C_n.?

则C_n+1-C_n=-,?

当n≤2时,C_n+1＞C_n,即C₁＜C₂;?

n≥3时,C_n+1＜C_n,即C₃＞C₄＞C₅;                                                                               ?

n=2时,=,?

n=3时,=3，∴M≥3.