Question

如图已知平面α，β，且α∩β=AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PCD；
（Ⅱ）若PC=PD=1，CD=，试判断平面α与平面β的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：对于问题（Ⅰ），要证明AB⊥平面PCD，只需证明垂直于平面PCD内的两条相交直线，根据本题的条件，只需证明AB⊥PC，AB⊥PD即可，而条件中的PC⊥α，PD⊥β，由线面垂直的定义可以得到PC⊥AB，PD⊥AB，问题得以解决；对于问题（Ⅱ），由于两个平面已经相交，所以应该考虑二者是否垂直，而由问题（Ⅰ）的结论，容易作出C-AB-D的平面角∠CHD，而能够得到∠CPD=90°，由平面四边形内角定理，容易得到∠CHD=90°，由面面垂直的定义可以得证．
解答：解：（Ⅰ）因为PC⊥α，AB?α，所以PC⊥AB．同理PD⊥AB．
又PC∩PD=P，故AB⊥平面PCD．（5分）
（Ⅱ）设AB与平面PCD的交点为H，连接CH、DH．因为AB⊥平面PCD，
所以AB⊥CH，AB⊥DH，所以∠CHD是二面角C-AB-D的平面角．
又，所以CD²=PC²+PD²=2，即∠CPD=90°．
在平面四边形PCHD中，∠PCH=∠PDH=∠CPD=90°，
所以∠CHD=90°．故平面α⊥平面β．（14分）
点评：本题考查直线与平面垂直的判定以及平面与平面垂直的判定，根据判定定理，证明线面垂直往往转化为证线线垂直，而线线垂直的证明往往还需要线面垂直来得到，要注意二者之间的转化关系，对于面面垂直，定义也是常用的方法．