Question

已知f(x)=loga

1+x

1-x

（a＞0，且a≠1），
（1）判断奇偶性，并证明；
（2）求使f（x）＜0的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出定义域，然后利用奇偶性的定义即可判断；
（2）分0＜a＜1，a＞1两种情况讨论，当0＜a＜1时，有

-1＜x＜1 1+x 1-x ＞1

，当a＞1时，有

-1＜x＜1 1+x 1-x ＜1

，分别解出即可；

解答：解：（1）f（x）为奇函数．
证明如下：
由

1+x

1-x

＞0得函数的定义域为（-1，1），
又f（-x）=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-loga

1+x

1-x

=-f（x），
所以，f（x）为奇函数．
（2）由题意：当0＜a＜1时，有

-1＜x＜1 1+x 1-x ＞1

解得0＜x＜1；
当a＞1时，有

-1＜x＜1 1+x 1-x ＜1

解得-1＜x＜0；
综上，当0＜a＜1时，0＜x＜1；  当a＞1时，-1＜x＜0．

点评：本题考查函数奇偶性的判断及对数不等式的求解，考查分类讨论思想．