Question

已知双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，离心率为2，F₁、F₂分别是它的左、右焦点，A是它的右顶点，过F₁作一条斜率为k（k≠0）的直线与双曲线交于两个点M、N，则∠MAN为（　　）

A．锐角

B．直角

C．钝角

D．锐角、直角、钝角都有可能

Answer 1

分析：由于e=

c

a

=2，可得c²=4a²=a²+b²，得到b²=3a²．双曲线方程

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，可表示为3x²-y²=3a²．设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直线MN的方程为y=k（x+c），与双曲线的方程联立得到根与系数的关系，再利用数量积

AM

•

AN

即可得出．

解答：解：∵e=

c

a

=2，∴c²=4a²=a²+b²，得到b²=3a²．双曲线方程

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，可表示为3x²-y²=3a²．
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直线MN的方程为y=k（x+c），联立

y=k(x+c) 3x2-y2=3a2

，化为（3-k²）x²-2k²cx-k²c²-3a²=0．
∵3-k²≠0，△＞0，∴x1+x2=

2k2c

3-k2

，x1x2=

-k2c2-3a2

3-k2

．
∴

AM

•

AN

=（x₁-a，y₁）•（x₂-a，y₂）=（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=x1x2-a(x1+x2)+a2+k²（x₁+c）（x₂+c）
=（1+k²）x₁x₂+（k²c-a）（x₁+x₂）+c²k²+a²
=

(1+k2)(-k2c2-3a2)

3-k2

+

2k2c(k2c-a)

3-k2

+c²k²+a²
=

-k2c2-3a2-k4c2-3a2k2+2k4c2-2k2ac+3c2k2-c2k4

3-k2

+

3a2-a2k2

3-k2

=0．
∴

AM

⊥

AN

．
∴∠MAN=90°．
故选B．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与数量积运算的关系等基础知识与基本技能，属于难题．