Question

已知四棱锥P-ABCD如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．
（1）求此四棱锥的体积；
（2）若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；
（3）在（2）的条件下，若F是PC的中点，求四边形ABFE的面积．

Answer 1

分析：（1）由三视图可得四棱锥的底面为边长等于2的正方形，且PA垂直于底面ABCD，PA=2．由此求得四棱锥的体积

1

3

•S_ABCD•PA的值．
（2）先证明CD⊥平面PAD，故有CD⊥AE．再由AE是等腰直角三角形PAD的底边的中线可得AE⊥PD，再根据直线和平面垂直的判定定理可得AE⊥平面PCD．
（3）在（2）的条件下，EF平行且等于

1

2

CD，ABEF为直角梯形，AE=

1

2

PD=

2

，由此求得四边形ABFE的面积

AE(EF+AB)

2

的值．

解答：解：（1）由三视图可得四棱锥的底面为边长等于2的正方形，
且PA垂直于底面ABCD，PA=2．
故此四棱锥的体积为

1

3

•S_ABCD•PA=

1

3

×（2×2）×2=

8

3

．
（2）由于PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．
在正方形ABCD中，由于AD⊥CD，而且PA∩AD=A，可得CD⊥平面PAD，
再由AE在平面PAD内，故有CD⊥AE．
由于AE是等腰直角三角形PAD的底边的中线，故有AE⊥PD．
而CD和PD是平面PCD内的两条相交直线，故有AE⊥平面PCD．
（3）在（2）的条件下，由AE⊥平面PCD，EF?平面PCD，可得 AE⊥EF．
由于EF为三角形PCD的中位线，可得EF平行且等于

1

2

CD，
故ABEF为直角梯形，AE=

1

2

PD=

2

，故四边形ABFE的面积为

AE(EF+AB)

2

=

2 (1+2)

2

=

3 2

2

．

点评：本题主要考查三视图、直线和平面垂直的判定定理的应用，求椎体的体积，属于中档题．