Question

如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；

（3）若直线在轴上的截距为，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）﹒

【解析】

试题分析：（1）由题意知圆心的坐标为，半径为1，抛物线的准线方程为，因为圆心到抛物线准线的距离为，所以有，解得，从而求出抛物线方程为.

（2）由题意可知，直线轴，可求出点的坐标为，此时直线与的倾斜角互补，即，又设点、的坐标分别为、，则，，所以有，即，整理得，所以.

（3）由题意可设点、的坐标分别为、，则，，因为、是圆的切线，所以、，因此，，由点斜式可求出直线、的直线方程分别为、，又点在抛物线上，有，所以点的坐标为，代入直线、的方程得、，可整理为、，从而可求得直线的方程为，令，得直线在上的截距为，考虑到函数为单调递增函数，所以.

试题解析：（1）∵点到抛物线准线的距离为，

∴，即抛物线的方程为．                 2分

（2）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，

设，，

∴，   ∴ ，

∴．    ．         7分

法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为，

联立方程组，得，

∵   ∴，．

同理可得，，∴．         7分

（3）法一：设，∵，∴，

可得，直线的方程为，

同理，直线的方程为，

∴，，

∴直线的方程为，

令，可得，

∵关于的函数在单调递增，   ∴．      14分

法二：设点，，．

以为圆心，为半径的圆方程为，      ①

⊙方程：．②

①-②得：

直线的方程为．

当时，直线在轴上的截距，

∵关于的函数在单调递增，   ∴．          14分

考点：1.抛物线方程；2.圆的方程；3.直线方程.