Question

是否存在常数a、b、c，使等式(

1

n

)3+(

2

n

)3+(

3

n

)3+…+(

n

n

)3=

an2+bn+c

n

对一切n∈N^*都成立？证明你的结论．

Answer 1

分析：先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，即(

1

k

)3+(

2

k

)3+(

3

k

)3+…+(

k

k

)3=

ak2+bk+c

k

，再递推到n=k+1时，成立即可．

解答：证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，
在等式(

1

n

)3+(

2

n

)3+(

3

n

)3+…+(

n

n

)3=

an2+bn+c

n

中，
令n=1，得1=a+b+c     ①
令n=2，得(

1

2

)3+(

2

2

)3=2a+b+

c

2

   ②
令n=3，得(

1

3

)3+(

2

3

)3+(

3

3

)3=

a×32+b×3+c

3

=3a+b+

c

3

   ③
由①②③解得a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

，
于是，对于n=1，2，3都有
(

1

n

)3+(

2

n

)3+(

3

n

)3+…+(

n

n

)3=

1 4 n2+ 1 2 n+ 1 4

n

=

(n+1)2

4n

（*）成立．
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．
（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，
即(

1

k

)3+(

2

k

)3+(

3

k

)3+…+(

k

k

)3=

(k+1)2

4k

那么当n=k+1时，
(

1

k+1

)3+(

2

k+1

)3+(

3

k+1

)3+…+(

k

k+1

)3+(

k+1

k+1

)3
=(

k

k+1

)3×[(

1

k

)3+(

2

k

)3+(

3

k

)3+…+(

k

k

)3]+(

k+1

k+1

)3
=(

k

k+1

)3×

(k+1)2

4k

+(

k+1

k+1

)3
=

k2

4(k+1)

+1=

(k+2)2

4(k+1)

=

[(k+1)+1]2

4(k+1)

由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．
综上所述，当a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

时题设的等式对于一切正整数n都成立．

点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．