Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，是和的等差中项．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若为椭圆的右顶点，直线与轴交于点，过点的另一直线与椭圆交于、两点，且，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据是和的等差中项可得，再利用在椭圆上可解得，即可求解；

（Ⅱ）分直线斜率存在不存在两种情况，直线斜率不存在时不合题意，当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程可得，，由可得，即可求出斜率，求出直线方程.

（Ⅰ）因为是和的等差中项，所以，得．

又在椭圆上，所以，所以，

，，

可得椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）计算可知

当直线与轴垂直时，不合题意．

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为

联立直线与椭圆的方程，可得，

由于在椭圆内，∴恒成立，

设，，由韦达定理可得 ①，

由，可得，又，

所以，得，

代入①，可得

所以，解得

所以直线的方程为