Question

如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC．
（Ⅰ）求几何体ABCDFE的体积；
（Ⅱ）证明：平面ADE∥平面BCF．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC的中点O，ED的中点G，由条件证明AO⊥平面BCED，同理FG⊥平面BCED，故所求的几何体的体积等于三棱锥F-BCED的体积的2倍，运算求得结果．
（Ⅱ）先证明AO和FG平行且相等，可得四边形AOFG为平行四边形，可得AG∥OF，再证DE∥BC，利用平面和平面平行的判定定理，证得平面ADE∥平面BCF．

解答：解：（Ⅰ）取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG．
因为△ABC，△DFE都是等边三角形，故有AO⊥BC，且平面BCED⊥平面ABC，
所以AO⊥平面BCED，同理FG⊥平面BCED，
因为AO=FG=

3

，四边形BCED是边长为2的正方形，
所以，VABCDFE= 2•V F-BCED=

1

3

×4×

3

×2=

8 3

3

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AO∥FG，AO=FG，
所以四边形AOFG为平行四边形，故AG∥OF，
又DE∥BC，所以，平面ADE∥平面BCF．…（12分）

点评：本题主要考查平面和平面平行的判定定理的应用，用分割法求柱体、椎体的体积，属于中档题．