Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）当时，讨论函数的单调性；

（3）当时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证：.

Answer 1

【答案】（1）2x－y－2＝0．（2）详见解析（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）由导数几何意义得曲线在处的切线斜率为f ′(1)，所以先求导f ′(x)＝2x －1＋，再求斜率k=f ′(1)＝2，最后由f(1)＝0，利用点斜式可得切线方程：2x－y－2＝0．（2）先求函数导数：f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝．再分类讨论导函数在定义区间上的零点：当a≤0时，一个零点1；当0＜a时，两个零点和1；再比较两个零点大小，分三种情形.（3）本题实质研究函数最小值.因为=()－(bx1－bx2)＋ln，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，所以bx=2x2＋1，bx1－bx2=2（）；再由x1x2＝得－－ln(2)，最后根据零点存在定理确定x2取值范围：x2∈(1，＋∞)，利用导数可得在区间(2，＋∞)单调递增，即φ(t)＞φ(2)＝－ln2，

试题解析：（1）因为a＝b＝1，所以f(x)＝x 2－x＋lnx，

从而f ′(x)＝2x －1＋．

因为f(1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－0＝2(x－1)，

即2x－y－2＝0．

（2）因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx，

从而f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝，x＞0．

当a≤0时，x∈(0，1)时，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0，

所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．

当0＜a＜时，

由f ′(x)＞0得0＜x＜1或x＞，由f ′(x)＜0得1＜x＜，

所以f(x)在区间(0，1)和区间(，＋∞)上单调递增，在区间(1，)上单调递减．

当a＝时，

因为f ′(x)≥0（当且仅当x＝1时取等号），

所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．

当a＞时，

由f ′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由f ′(x)＜0得＜x＜1，

所以f(x)在区间(0，)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(，1)上单调递减．

（3）方法一：因为a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，从而f ′(x)＝ (x＞0)．

由题意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，故x1x2＝．

记g(x) ＝2x2－bx＋1，因为b＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，

所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且bxi＝2＋1 (i＝1，2)．

f(x1)－f(x2)＝()－(bx1－bx2)＋ln＝－()＋ln．

因为x1x2＝，所以f(x1)－f(x2)＝－－ln(2)，x2∈(1，＋∞)．

令t＝2∈(2，＋∞)，φ(t)＝f(x1)－f(x2)＝－lnt．

因为φ′(t)＝≥0，所以φ(t)在区间(2，＋∞)单调递增，

所以φ(t)＞φ(2)＝－ln2，即f(x1)－f(x2)＞－ln2．

方法二：因为a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，从而f ′(x)＝ (x＞0)．

由题意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根．

记g(x) ＝2x2－bx＋1，因为b＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，

所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且f(x)在[x1，x2]上为减函数．

所以f(x1)－f(x2)＞f()－f(1)＝(－＋ln)－(1－b)＝－＋－ln2．

因为b＞3，故f(x1)－f(x2)＞－＋－ln2＞－ln2．