Question

（2013•山东）设正实数x，y，z满足x²-3xy+4y²-z=0．则当

xy

z

取得最大值时，

2

x

+

1

y

-

2

z

的最大值为（　　）

• A．0
• B．1
• C．

  9

  4

• D．3

Answer 1

分析：依题意，当

xy

z

取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=

2

x

+

1

y

-

2

z

，利用配方法即可求得其最大值．

解答：解：∵x²-3xy+4y²-z=0，
∴z=x²-3xy+4y²，又x，y，z均为正实数，
∴

xy

z

=

xy

x2-3xy+4y2

=

1

x y + 4y x -3

≤

1

2 x y × 4y x -3

=1（当且仅当x=2y时取“=”），
∴(

xy

z

)max=1，此时，x=2y．
∴z=x²-3xy+4y²=（2y）²-3×2y×y+4y²=2y²，
∴

2

x

+

1

y

-

2

z

=

1

y

+

1

y

-

1

y2

=-(

1

y

-1)2+1≤1．
∴

2

x

+

1

y

-

2

z

的最大值为1．
故选B．

点评：本题考查基本不等式，由

xy

z

取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．