Question

如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且

（Ⅰ）求证：对任意的，都有

（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值.

Answer 1

解析:

（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。

  SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE

（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE= ,

  SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD, SD⊥CD。

 又底面ABCD是正方形， CD⊥AD，而SD AD=D，CD⊥平面SAD.

连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，

故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=。

在Rt△BDE中，BD=2a，DE=

在Rt△ADE中,

从而

在中，.

由，得.

由，解得，即为所求.

（I）                                证法2：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如

     图2所示的空间直角坐标系，则

     D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），E（0，0），

    

     ，

     即。

（II）                  解法2：

由（I）得.

设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得

。

       易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为.

         .

          0<，，

          .

          由于，解得，即为所求。