Question

设S_n为等差数列{a_n}的前n项的和，已知a₁+a₂+a₆=15，S₇≥49．
（1）求a₃及S₅的值；   （2）求公差d的取值范围；    （3）求证：S₈≥64．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁+a₂+a₆=a₁+（a₁+d）+（a₁+5d）=15，
∴3a₁+6d=15，即a₁+2d=5，
∴a₃=a₁+2d=5，
∴S₅=

5(a1+a5)

2

=5a₃=25；
（2）由S₇=

7(a1+a7)

2

=7a₄≥49，
得到a₄≥7，
即a₄=a₃+d=5+d≥7，
解得：d≥2；
（3）∵a₄≥7，d≥2，
∴S₈=

8(a1+a8)

2

=4（a₁+a₈）
=4（2a₁+7d）=4[2（a₁+3d）+d]
=4（2a₄+d）≥4（2×7+2）=64．
则S₈≥64．