Question

设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞o且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．
（3）若f（1）=

3

2

，试讨论函数g（x）=a^2x+a^-2x-2m•f（x）在[1，+∞）上零点的个数情况．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）为R上的奇函数，可得f（0）=0，由此求得有k的值．
（2）由f（1）=

3

2

，求得a=2的值，令t=2^x-2^-x，则t∈[

3

2

，+∞)，且满足y=t²-2mt+2，t∈[

3

2

，+∞)．由题意可得，h（t）=g（x）在[

3

2

，+∞)上的最小值为-2．分m≤

3

2

和m＞

3

2

两种情况，分别根据g（x）的最小值为-2，求得m的值．
（3）由（2）可得：令t=2^x-2^-x，则t∈[

3

2

，+∞)，且 y=t²-2mt+2，t∈[

3

2

，+∞)，分△＞0，和△＜0两种情况，分别根据函数的单调性、二次函数的性质确定函数的零点个数．

解答：解：（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，求得1-k+1=0，故有k=2．
（2）由题意得：f（1）=

3

2

=a-

1

a

，∴a=2，或a=-

1

2

（舍），
∴f（x）=2^x-2^-x且f（x）在[1，+∞）上递增，∴g（x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=2^x-2^-x，则t∈[

3

2

，+∞)，且满足y=t²-2mt+2，t∈[

3

2

，+∞)．
由题意可得，h（t）=g（x）在[

3

2

，+∞)上的最小值为-2．
若m≤

3

2

，g（x）的最小值为h（

3

2

）=

9

4

-2m×

3

2

+2=-2，解得 m=

25

12

 （舍），
若m＞

3

2

，g（x）的最小值为h（m）=m²-2m•m+2=-2，解得m=2．
综合可得，m=2．
（3）由（2）可得：令t=2^x-2^-x，则t∈[

3

2

，+∞)，且 y=t²-2mt+2，t∈[

3

2

，+∞)．
若△=4m²-8＞0，即 m＜-

2

，或 m＞

2

．
当m＞

2

时，由t2-2m+2=0⇒m=

t2+2

2t

⇒m=

1

2

(t+

2

t

)，由t∈[

3

2

，+∞)，故m（t）在t∈[

3

2

，+∞)上单调递增，
∴m(t)min=m(

3

2

)=

17

12

，由题意m≥

17

12

时，有一个零点；
当m＜-

2

时在方程t²-2mt+2=0中由韦达定理的t₁t₂＞0，t₁+t₂＜0，则方程只有负根，故无零点．
若△≤0，即m∈[-

2

，

2

]，由题意可得无零点．
所以当m＞

2

时有一个零点；其余均无零点．

点评：本题主要考查指数函数的性质，函数的单调性的应用，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．