Question

【题目】已知数列的前n项和.求：

（I）求数列的通项公式；

（II）求数列的前n项和；

（III）求的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

【解析】试题分析：（1）先求出，当时， ， ，两式相减，验证当时是否成立，即可得到数列的通项公式；（）由（1）可得，利用裂项相消法求解即可；（）由（1）可得，利用基本不等式，结合是正整数，即可得结果.

试题解析：（）当时， ，

当时， ， ，

两式相减得，

经验证不满足上式．

故．

（）当时， ，

当时， ，

∴

．

经检验满足上式，故．

（）

，当且仅当时，等号成立，

∵，求， ，

∴当时， 取最小值， ．

【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与基本不等式求最值，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.