Question

如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.

   （1）证明PA//平面BDE；    

   （2）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；

   （3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）存在

解析:

（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），…………2分

B（2，2，0）   

设 是平面BDE的一个法向量，

则由       ………………4分

∵    …………5分

（2）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量.                                       ………………7分

设二面角B—DE—C的平面角为，由图可知

∴

故二面角B—DE—C的余弦值为           ………………10分

（3）∵

∴

假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，

则，

由       ………………13分

∴            ………………14分

即在棱PB上存在点F，PB，使得PB⊥平面DEF                    ………………15分

用几何法证明酌情给分