Question

在新农村建设过程中，某村计划建造一个室内矩形（ABCD）蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，内部（EFGH）种植蔬菜（示意图）．
（1）若矩形ABCD的周长为104m，要使EFGH的面积不小于504m²，试求边长AB的范围；
（2）若矩形ABCD的面积为800m²，则当边长AB为多少时，矩形EFGH的面积S最大．

Answer 1

分析：（1）设AB为xm，确定EF，EH的长，即可表示EFGH的面积，利用EFGH的面积不小于504m²，建立不等式，即可试求边长AB的范围；
（2）表示EFGH的面积，利用基本不等式，即可求矩形EFGH的面积S最大值．

解答：解：（1）设AB为xm，则AD=

104-2x

2

=52-x，EF=x-2，EH=48-x．…（1分）
由题知：（x-2）（48-x）≥504…（2分）
化简得：x²-50x+600≤0，
解得：20≤x≤30．
所以边AB的长度在20m至30m之间．…（4分）
（2）设AB为xm，则AD=

800

x

，EF=x-2，EH=

800

x

-4．…（5分）
∴S=(x-2)(

800

x

-4)=808-4(x+

400

x

)≤808-4×2

x× 400 x

=648(m2)，…（7分）
当且仅当x=

400

x

，x=20(m)时，S最大648m²．
即边长AB为20m时，矩形EFGH面积最大．    …（8分）

点评：本题考查矩形面积的计算，考查解不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题．