Question

已知圆C：（x+l）²+y²=8及点F（l，0），P为圆C上一动点，在同一坐标平面内的动点M满足：

CM

∥

CP

，|

MF

|=|

MP

|．
（I）求动点M的轨迹E的方程；
（II）过点F作直线l与（I）中轨迹E交于不同两点R、S，设

FR

=λ

FS

，λ∈[-2，-1)，求直线l 的纵截距的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据

CM

∥

CP

，|

MF

|=|

MP

|，可得动点M的轨迹E是以C，F为左、右焦点的椭圆，由此可得轨迹方程；
（II）①若直线l的斜率为0，不满足；
②当直线l的斜率不为0时，设方程为x=ty+1，代入

x2

2

+y2=1，利用韦达定理，及

FR

=λ

FS

，即可求得结论．

解答：解：（I）由已知，圆C：（x+1）²+y²=8，则半径为2

2

∵

CM

∥

CP

，|

MF

|=|

MP

|
∴C，M，P三点共线，且|MC|+|MF|=|MF|+|MP|=|FP|=2

2

∴动点M的轨迹E是以C，F为左、右焦点的椭圆，且2a=2

2

，c=1
∴动点M的轨迹E的方程为

x2

2

+y2=1；
（II）①若直线l的斜率为0，则R（-

2

，0），S（

2

，0），F（1，0），
∴

FR

=(-

2

-1，0)，

FS

=(

2

-1，0)
∴λ=-(3+2

2

)∉[-2，-1)，故直线l的纵截距不可能为0；
②当直线l的斜率不为0时，λ≠-1，设方程为x=ty+1（t≠0），代入

x2

2

+y2=1，可得（t²+2）y²+2ty-1=0
设R（x₁，y₁），S（x₂，y₂）（y₁≠0，y₂≠0），则y₁+y₂=-

2t

t2+2

，y₁y₂=-

1

t2+2

∵

FR

=λ

FS

，∴y₁=λy₂，∴λ=

y1

y2

，λ＜0
∴λ+

1

λ

+2=

y1

y2

+

y2

y1

+2=

(y1+y2)2

y1y2

=-

4t2

t2+2

∵λ∈[-2，-1]
∴-

1

2

≤λ+

1

λ

+2≤0
∴-

1

2

≤-

4t2

t2+2

≤0
∴0≤t²≤

2

7

∴0＜t≤

14

7

或-

14

7

≤t＜0
∴直线l的纵截距-

1

t

∈(-∞，-

14

2

]∪[

14

2

，+∞)．

点评：本题考查椭圆的定义，考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，综合性强．