Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，-3），N（5，1），若动点C满足=t且点C的轨迹与抛物线y²=4x交于A，B两点．
（1）求证：⊥；
（2）在x轴上是否存在一点P（m，0）（m≠0），使得过点P的直线l交抛物线y²=4x于D，E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心M的轨迹方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由动点C满足=t，知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，
又因为直线MN的方程为x-y-4=0
∴点C的轨迹方程为x-y-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由 得：
x²-12x+16=0
∴x₁•x₂=16，x₁+x₂=12
又y₁•y₂=（x₁-4）•（x₂-4）=-16
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴⊥；
（2）假设存在P（m，0）（m≠0），使得过点P的直线l交抛物线y²=4x 于D，E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点，
由题意知：弦所在的直线的斜率不为零．故设弦所在的直线方程为：x=ky+m，
代入 y²=4x 得 y²-4ky-4m=0，设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4m．
若以弦DE为直径的圆都过原点，则OD⊥OE，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
即 =m²-4m，解得m=0 （不合题意，舍去）或 m=4．
∴存在点P（4，0），使得过P点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点．
设弦D，E的中点为M（x，y）
则x=（x₁+x₂），y=（ y₁+y₂）=2k，
x₁+x₂=ky₁+4+ky₂+4=k（y₁+y₂）+8=4k²+8，
∴x=2k²+4，y=2k，
∴消去k得弦D，E的中点M的轨迹方程为：y²=2x-8．
∴圆心的轨迹方程为y²=2x-8．
分析：（1）欲证两向量垂直，通过向量的坐标运算，就是证明它们的数量积为0，将直线与抛物线的方程组成方程组，利用设而不求的方法求解；
（2）对于存在性问题，可设假设存在，本题中将垂直关系合理转化，找出m的一个相等关系，从而解出了m的值，即说明存在．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题及存在性问题．对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在．这是一种最常用也是最基本的方法，解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．