Question

（本题满分16分）

已知函数．

　（1）若函数在R上是增函数，求实数的取值范围；

　（2）求所有的实数，使得对任意时，函数的图象恒在函数

图象的下方；

　（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．

Answer 1

解：（1）

由在R上是增函数，则即，则范围为；…4分

（2）由题意得对任意的实数，恒成立，

即，当恒成立，即，，

，故只要且在上恒成立即可，    

在时，只要的最大值小于且的最小值大于即可，………6分

而当时，，为增函数，；

当时，，为增函数，，

所以；                                   …………………10分

（3）当时，在R上是增函数，则关于x的方程不可能有三个不等的实数根；                                          ……… 11分

则当时，由得

时，对称轴，

则在为增函数，此时的值域为，

时，对称轴，

则在为增函数，此时的值域为，

在为减函数，此时的值域为；

由存在，方程有三个不相等的实根，则，

即存在，使得即可，令，

只要使即可，而在上是增函数，，

故实数的取值范围为；                        ………………… 15分

同理可求当时，的取值范围为；

综上所述，实数的取值范围为．                  ……………16分